belgium fries

Как обычно

Задача на тему "Определение производной".

Inflating a balloon. The volume V=(4/3)πr3 of a spherical balloon changes with the radius
(a) At what rate does the volume change with respect to the radius when r=2ft?
(b) By approximately how much does the volume increase when the radius changes from 2 to 2.2ft?

Дочка: в каком смысле тут используется слово approximately? Почему бы не вычислить V(2.2) - V(2) с произвольной точностью?
  • 22 comments
  • —
    • :
    dmpogo

    В каком смысле ? ответ препа ---- В смысле разложения Тэйлора

    birdwatcher
    Представляю мощь отрицательного отбора, приводящего к появлению таких задач.
    filin
    С трудом сообразил, что не r=2*f*t, а два фута :-(
    freedom_of_sea
    слабаки. Достаточно задать кривую и вычислять объем тела её вращения, чтобы всё обрело смысл
    akor168
    Ответ, потому что это банально дороже. Но это не поясняют и в вузах, что вопрос по сути в том, что как можно дешевле считать эту самую "произвольную" точность.
    birdwatcher
    Конечно, непосредственно возводя в куб. Здесь три умножения и там три умножения.
    akor168
    Угу, а теперь заменяем 2.2 на 2.2222222222222222 и просим посчитать сие возведением в куб. По-моему, разница станет понятной.
    birdwatcher
    Даже не представляю, к чему вы клоните. Может, вообще где-то бывают дорогие функции с дешевыми первыми производными, но полином не является одной из них.
    akor168
    А других функций, чтобы демонстрировать метод, у нас нет. Просто пример изначальный неудачный. Естественно, считать f(2.2) здесь также просто как и f(2) но достаточно предложить посчитать вручную f(2.222222222), и это уже для человека весьма недешево по сравнению с подсчетом f'(2).
    misha_b
    "Стоимость" зависит от того, в какой точке считать, а не только от формы функции. Например, дайте мне оценку функции y=x в точке пи.
    birdwatcher
    Она равна пи, бесплатно и мгновенно. Число 2.2 ничем не отличается от 2.0 или от пи с точки зрения скорости вычислений.
    misha_b
    Ok, fair enough, пример неудачный. Рассмотрим, скажем функцию х^4. To estimate the value at, say, 1.07, we have f(1.07) ~ 1 + 4*0.7 -- one addition and two shifts to left. To compute the value exactly requires a fourth power, i.e. two multiplications.
    dmpogo
    Вопрос не в этом. А в том что 'произвольная точность' вещь часто ненужная (*). Поэтому студентов на первом курсе физики бьешь по рукам когда для r=2.2 они дают ответ с 10ью цифрами после запятой.

    (*) и уж точно не для нашего мозга, если хочешь думать количественно и быстро, надо думать приближенно.
    birdwatcher
    Что это значит, ненужная? Вредная? Надо специально загрублять? Какое вообще может быть оправдание тому, чтобы заменить простое и точное вычисление приближенным и концептуально более сложным?
    morfizm
    б) Мне кажется, это вопрос на устный счёт, умение округлять и пренебрегать деталями. Нужно дать ответ "в 15 раз".

    Пояснение:
    1) V' = 4 * pi * r^2 = 12 r^2
    2) Если радиус увеличивается с 2 до 2.2, это в 1.1 раза, в квадрате это примерно в 1.2 раза, 12 * 1.2 = 15.



    Edited at 2017-10-10 12:39 pm (UTC)
    birdwatcher
    Как можно догадаться, не зная этого заранее, что это вопрос на устный счет?
    morfizm
    Очевидно: слово "approximately".

    Кстати, я заметил, что вопрос сформулирован как "насколько", а не "во сколько раз".
    Поэтому можно уточнить: примерно оценить "насколько" невозможно, потому что неизвестно значение f.

    :)
    dmpogo
    Сказано 'насколько', потому что в первом вопросе студент уже посчитал производную, и теперь лишь надо умножить на 0.2 (или поделить на 5 в голове).
  • 22 comments
  • —
    • :